Minggu, 13 Februari 2011

Peluang  atau  kebolehjadian  atau dikenal juga sebagai  Probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam matematika atau  statistika, tapi juga  keuangan,  sains dan filsafat.



Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi. Misalnya matahari yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi. Misalnya seekor kambing melahirkan seekor sapi.



1-\frac{1}{6} = \frac{5}{6}Probabilitas/Peluang suatu kejadian A terjadi dilambangkan dengan notasi P(A), p(A), atau Pr(A). Sebaliknya, probabilitas [bukan A] ataukomplemen A, atau probabilitas suatu kejadian A tidak akan terjadi, adalah 1-P(A). Sebagai contoh, peluang untuk tidak munculnya mata dadu enam bila sebuah dadu bersisi enam digulirkan adalah .





E-to-the-i-pi.svg


Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.



Probabilitas (Bagian I)

1.      Pendahuluan

[sls1]

·        Percobaan : proses yang menghasilkan data



·        Ruang Contoh (S) :  himpunan yang memuat semua kemungkinan hasil percobaan



·        Kejadian = Event  : himpunan bagian dari ruang contoh

Misal :         Dari sekumpulan 52 kartu bridge S : { sekop, klaver, hati, wajik }, kita hanya tertarik pada kejadian A munculnya kartu yang berwarna merah.

A : {hati, wajik }



·     Titik Contoh: Anggota Ruang Contoh/Kejadian



·     Konsep Dasar (Klasik) Peluang



Peluang kejadian A dinotasikan sebagai P(A)



Jika setiap titik contoh mempunyai peluang yang sama maka :





n        : banyak titik contoh penyusun Kejadian

N       : banyak titik contoh dalam Ruang Contoh (S)



·     Nilai Peluang Kejadian A    ®     0 £ P(A) £ 1

          dan

P  (S) = 1   ®      Peluang Kejadian yang pasti terjadi

P (Æ) = 0    ®      Peluang Kejadian yang pasti tidak terjadi



Contoh 1:

Percobaan:         Pelemparan sebuah dadu setimbang (balanced) sebanyak 1 kali

                   S : {sisi-1, sisi-2, sisi-3, sisi-4, sisi-5, sisi-6}

                   N = 6



Kejadian A:          Munculnya sisi dadu bernilai GENAP dalam pelemparan sebuah dadu

setimbang (balanced) sebanyak 1 kali

                   A {sisi-2, sisi-4, sisi-6}

                   n = 3

Peluang kejadian A:  



2.      Penghitungan Banyak Titik Contoh



2.1             Kaidah Penggandaan = Kaidah Perkalian













Kaidah Penggandaan:

Jika   operasi ke-1 dapat dilakukan dalam n1 cara

                   operasi ke-2 dapat dilakukan dalam n2 cara

                             :

                             :

                   operasi ke-k dapat dilakukan dalam nk cara



maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1 ´ n 2 ´ …´ nk cara





Contoh 2:

Berapa banyak bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka 3, 4, 6, 7, dan 8



a.       jika semua angka boleh berulang?  

          5 ´ 5 ´ 5 ´ 5 = 625



b.      jika angka tidak  boleh berulang?

5 ´ 4 ´ 3 ´ 2  = 120



c       jika bilangan tersebut: GANJIL  dan angka tidak boleh berulang?

          4 ´ 3 ´ 2 ´ 2 = 48



d.      Berapa peluang bilangan yang muncul adalah bilangan GANJIL dan angka tidak berulang (lihat Kejadian c) pada kondisi pembentukan bilangan 4 digit, angka boleh berulang (lihat Kejadian A)

                   n = 48                            N = 625

                   P(C) =



2.2.   Permutasi



Permutasi sejumlah obyek adalah penyusunan obyek tersebut dalam suatu urutan/posisi tertentu.



Dalam permutasi urutan/posisi diperhatikan!!!

Misal:

Dari huruf A, B, C ® permutasi yang mungkin:  ABC ¹ ACB ¹ BAC¹BCA¹CAB¹ CBA.  Permutasi = 6 = 3 ´ 2 ´ 1= 3!



·     Dalil-1 Permutasi:     Banyaknya Permutasi n benda yang berbeda adalah n!



Konsep Bilangan Faktorial

n! = n ´ (n-1) ´(n-2) ´.... ´ 2 ´ 1

0! = 1                                      1! = 1

100! = 100 ´ 99!

100! = 100 ´ 99 ´ 98!, dst  



Contoh 3:

Berapa cara menyusun bola lampu merah, biru, kuning dan hijau ?

Terdapat 4 objek berbeda : merah, kuning, biru dan hijau ® 4! = 4´ 3 ´ 2 ´ 1 = 24



Berapa peluang susunan lampu tersebut adalah Kuning-Biru-Hijau-Merah?

P(KBHM) =



·     Dalil-2 Permutasi :

Banyaknya permutasi r benda dari n benda yang berbeda adalah :



        

Perhatikan dalam contoh ini urutan/posisi obyek sangat diperhatikan!



Contoh 4:

Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3 hadiah yang berbeda.  Undian urutan pertama akan memperoleh rumah, undian urutan kedua memperoleh mobil dan undian urutan ketiga memperoleh  paket wisata ke Eropa.  Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk?



= 59280

Jika anda hanya mempunyai 1 rekening, maka peluang anda menjadi salah satu pemenang adalah: P(Menang) =



·     Dalil-3 Permutasi Melingkar: Banyaknya permutasi n benda yang disusun  dalam suatu lingkaran adalah (n-1)!



Contoh 5:

Enam orang bermain bridge dalam susunan melingkar.  Berapa susunan yang mungkin dibentuk?    n = 6 maka permutasi melingkar = (6-1)! = 5! = 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´1 = 120

Sampai Dalil ke-3, kita telah membahas permutasi untuk benda-benda yang berbeda.  Perhatikan permutasi ABC, terdapat 3 objek yang jelas berbeda.

Bagaimana jika kita harus berhadapan dengan A1A2B1B2C1C2 dan A1=A2=A dan B1=B2=B dan C1=C2= C?



Dalil-4 Permutasi Obyek yang Sama:

Banyaknya permutasi untuk sejumlah n benda

di mana      jenis/kelompok    pertama     berjumlah n1

                             jenis/kelompok    kedua         berjumlah  n2

                                      :                                               :

                                      :                                               :

                             jenis/kelompok    ke-k            berjumlah  nk



          adalah                  :



n  = n1 + n2 + . . . + nk                  

                                    

Contoh 6:

Berapa permutasi dari kata STATISTIKA?      S = 2; T = 3; A = 2;  I = 2; K = 1

Permutasi  =                  



Contoh 7:

Dari 7 orang mahasiswa akan dilakukan pemisahan kelas.  3 orang masuk ke kelas pertama,  2 orang masuk ke kelas kedua dan 2 orang masuk ke kelas ketiga.

Ada berapa cara pemisahan?









2.3    Kombinasi



Kombinasi r obyek yang dipilih dari n obyek adalah susunan r obyek tanpa memperhatikan urutan/posisi

Misalkan:    Kombinasi 3 dari 3 obyek A, B dan C adalah:

ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA ( Hanya terdapat 1 kombinasi)  



·     Dalil-1 Kombinasi :   Kombinasi r dari n obyek  adalah



Contoh 8:

Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3 hadiah yang sama. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk?

= 9880

        

Jika anda hanya mempunyai 1 rekening, maka peluang anda menjadi salah satu pemenang adalah: P(Menang) =



2.4    Kaidah Perkalian & Kombinasi



Dalam banyak soal, kaidah penggandaan/perkalian  dan kombinasi seringkali digunakan bersama-sama.

Contoh 9:

Manajer SDM mengajukan 10 calon manajer yang berkualifikasi sama, 5 calon berasal dari Kantor Pusat, 3 calon dari Kantor cabang dan 2 dari Program Pelatihan manajer.



(a)     Berapa cara Manajer SDM dapat memilih 6 manajer baru dengan ketentuan 3 berasal

dari Kantor Pusat. 2 dari Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan manajer?

Pemilihan 3 dari 5 calon dari Kantor Pusat       =

Pemilihan 2 dari 3 calon dari Kantor Cabang  =  

Pemilihan 1 dari 2 calon dari Program Pelatihan=

n = Pemilihan Manajer = 10 ´ 3  ´  2 = 60 cara        



(b)     Berapa cara memilih 6 dari 10 kandidat manajer?

N = Pemilihan  6 dari 10 kandidat manajer  =



(c)     Berapa peluang 6 manajer baru tersebut terdiri dari 3 dari Kantor Pusat, 2 dari

Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan?

P(manajer) =





Page: 1
 [sls1]