Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi. Misalnya matahari yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi. Misalnya seekor kambing melahirkan seekor sapi.
1-\frac{1}{6} = \frac{5}{6}Probabilitas/Peluang suatu kejadian A terjadi dilambangkan dengan notasi P(A), p(A), atau Pr(A). Sebaliknya, probabilitas [bukan A] ataukomplemen A, atau probabilitas suatu kejadian A tidak akan terjadi, adalah 1-P(A). Sebagai contoh, peluang untuk tidak munculnya mata dadu enam bila sebuah dadu bersisi enam digulirkan adalah .
E-to-the-i-pi.svg
Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.
Probabilitas (Bagian I)
1. Pendahuluan
[sls1]
· Percobaan : proses yang menghasilkan data
· Ruang Contoh (S) : himpunan yang memuat semua kemungkinan hasil percobaan
· Kejadian = Event : himpunan bagian dari ruang contoh
Misal : Dari sekumpulan 52 kartu bridge S : { sekop, klaver, hati, wajik }, kita hanya tertarik pada kejadian A munculnya kartu yang berwarna merah.
A : {hati, wajik }
· Titik Contoh: Anggota Ruang Contoh/Kejadian
· Konsep Dasar (Klasik) Peluang
Peluang kejadian A dinotasikan sebagai P(A)
Jika setiap titik contoh mempunyai peluang yang sama maka :
n : banyak titik contoh penyusun Kejadian
N : banyak titik contoh dalam Ruang Contoh (S)
· Nilai Peluang Kejadian A ® 0 £ P(A) £ 1
dan
P (S) = 1 ® Peluang Kejadian yang pasti terjadi
P (Æ) = 0 ® Peluang Kejadian yang pasti tidak terjadi
Contoh 1:
Percobaan: Pelemparan sebuah dadu setimbang (balanced) sebanyak 1 kali
S : {sisi-1, sisi-2, sisi-3, sisi-4, sisi-5, sisi-6}
N = 6
Kejadian A: Munculnya sisi dadu bernilai GENAP dalam pelemparan sebuah dadu
setimbang (balanced) sebanyak 1 kali
A {sisi-2, sisi-4, sisi-6}
n = 3
Peluang kejadian A:
2. Penghitungan Banyak Titik Contoh
2.1 Kaidah Penggandaan = Kaidah Perkalian
Kaidah Penggandaan:
Jika operasi ke-1 dapat dilakukan dalam n1 cara
operasi ke-2 dapat dilakukan dalam n2 cara
:
:
operasi ke-k dapat dilakukan dalam nk cara
maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1 ´ n 2 ´ …´ nk cara
Contoh 2:
Berapa banyak bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka 3, 4, 6, 7, dan 8
a. jika semua angka boleh berulang?
5 ´ 5 ´ 5 ´ 5 = 625
b. jika angka tidak boleh berulang?
5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 = 120
c jika bilangan tersebut: GANJIL dan angka tidak boleh berulang?
4 ´ 3 ´ 2 ´ 2 = 48
d. Berapa peluang bilangan yang muncul adalah bilangan GANJIL dan angka tidak berulang (lihat Kejadian c) pada kondisi pembentukan bilangan 4 digit, angka boleh berulang (lihat Kejadian A)
n = 48 N = 625
P(C) =
2.2. Permutasi
Permutasi sejumlah obyek adalah penyusunan obyek tersebut dalam suatu urutan/posisi tertentu.
Dalam permutasi urutan/posisi diperhatikan!!!
Misal:
Dari huruf A, B, C ® permutasi yang mungkin: ABC ¹ ACB ¹ BAC¹BCA¹CAB¹ CBA. Permutasi = 6 = 3 ´ 2 ´ 1= 3!
· Dalil-1 Permutasi: Banyaknya Permutasi n benda yang berbeda adalah n!
Konsep Bilangan Faktorial
n! = n ´ (n-1) ´(n-2) ´.... ´ 2 ´ 1
0! = 1 1! = 1
100! = 100 ´ 99!
100! = 100 ´ 99 ´ 98!, dst
Contoh 3:
Berapa cara menyusun bola lampu merah, biru, kuning dan hijau ?
Terdapat 4 objek berbeda : merah, kuning, biru dan hijau ® 4! = 4´ 3 ´ 2 ´ 1 = 24
Berapa peluang susunan lampu tersebut adalah Kuning-Biru-Hijau-Merah?
P(KBHM) =
· Dalil-2 Permutasi :
Banyaknya permutasi r benda dari n benda yang berbeda adalah :
Perhatikan dalam contoh ini urutan/posisi obyek sangat diperhatikan!
Contoh 4:
Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3 hadiah yang berbeda. Undian urutan pertama akan memperoleh rumah, undian urutan kedua memperoleh mobil dan undian urutan ketiga memperoleh paket wisata ke Eropa. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk?
= 59280
Jika anda hanya mempunyai 1 rekening, maka peluang anda menjadi salah satu pemenang adalah: P(Menang) =
· Dalil-3 Permutasi Melingkar: Banyaknya permutasi n benda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n-1)!
Contoh 5:
Enam orang bermain bridge dalam susunan melingkar. Berapa susunan yang mungkin dibentuk? n = 6 maka permutasi melingkar = (6-1)! = 5! = 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´1 = 120
Sampai Dalil ke-3, kita telah membahas permutasi untuk benda-benda yang berbeda. Perhatikan permutasi ABC, terdapat 3 objek yang jelas berbeda.
Bagaimana jika kita harus berhadapan dengan A1A2B1B2C1C2 dan A1=A2=A dan B1=B2=B dan C1=C2= C?
Dalil-4 Permutasi Obyek yang Sama:
Banyaknya permutasi untuk sejumlah n benda
di mana jenis/kelompok pertama berjumlah n1
jenis/kelompok kedua berjumlah n2
: :
: :
jenis/kelompok ke-k berjumlah nk
adalah :
n = n1 + n2 + . . . + nk
Contoh 6:
Berapa permutasi dari kata STATISTIKA? S = 2; T = 3; A = 2; I = 2; K = 1
Permutasi =
Contoh 7:
Dari 7 orang mahasiswa akan dilakukan pemisahan kelas. 3 orang masuk ke kelas pertama, 2 orang masuk ke kelas kedua dan 2 orang masuk ke kelas ketiga.
Ada berapa cara pemisahan?
2.3 Kombinasi
Kombinasi r obyek yang dipilih dari n obyek adalah susunan r obyek tanpa memperhatikan urutan/posisi
Misalkan: Kombinasi 3 dari 3 obyek A, B dan C adalah:
ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA ( Hanya terdapat 1 kombinasi)
· Dalil-1 Kombinasi : Kombinasi r dari n obyek adalah
Contoh 8:
Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3 hadiah yang sama. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk?
= 9880
Jika anda hanya mempunyai 1 rekening, maka peluang anda menjadi salah satu pemenang adalah: P(Menang) =
2.4 Kaidah Perkalian & Kombinasi
Dalam banyak soal, kaidah penggandaan/perkalian dan kombinasi seringkali digunakan bersama-sama.
Contoh 9:
Manajer SDM mengajukan 10 calon manajer yang berkualifikasi sama, 5 calon berasal dari Kantor Pusat, 3 calon dari Kantor cabang dan 2 dari Program Pelatihan manajer.
(a) Berapa cara Manajer SDM dapat memilih 6 manajer baru dengan ketentuan 3 berasal
dari Kantor Pusat. 2 dari Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan manajer?
Pemilihan 3 dari 5 calon dari Kantor Pusat =
Pemilihan 2 dari 3 calon dari Kantor Cabang =
Pemilihan 1 dari 2 calon dari Program Pelatihan=
n = Pemilihan Manajer = 10 ´ 3 ´ 2 = 60 cara
(b) Berapa cara memilih 6 dari 10 kandidat manajer?
N = Pemilihan 6 dari 10 kandidat manajer =
(c) Berapa peluang 6 manajer baru tersebut terdiri dari 3 dari Kantor Pusat, 2 dari
Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan?
P(manajer) =
Page: 1
[sls1]